Một bệnh nghiêm trọng (A grave disease)

Phạm Việt Hưng





Abstract: Despite Sylvester Medal awarded to George Cantor in 1904 by British Royal Society, and although David Hilbert declared that Cantor had created a Paradise of Mathematics, Cantor’s ideas were actually a “grave disease” of Mathematics (as Henri Poincaré noted) and “pernicious idioms” for Mathematics (as Ludwig Wittgenstein lamented). Unfortunately, this disease has been infecting the education for many years. What to do with it? That is a question for the education.

Bất chấp Huân chương Sylvester do Hội Hoàng gia Anh trao tặng cho George Cantor năm 1904, và mặc dù David Hilbert tuyên bố Cantor đã tạo ra một Thiên đường Toán học, tư tưởng của Cantor thực ra là một “bệnh tật nghiêm trọng”của Toán học (như Henri Poincaré nhận xét) và là “những trình bầy độc hại” đối với toán học (như Ludwig Wittgenstein than phiền). Không may, căn bệnh này đã và đang nhiễm độc nền giáo dục trong nhiều năm. Phải làm gì với căn bệnh đó? Đó là một câu hỏi đối với nền giáo dục.



Có một độc giả trẻ, một giáo viên Toán, gửi thư cho tôi, nói đại ý rằng bao lâu nay bạn ấy nghĩ Toán là một khoa học chặt chẽ, chính xác, không có chỗ cho mâu thuẫn. Toán học là một chân lý tuyệt đối, như 2 cộng 3 phải bằng 5 vậy.

Nhưng khi đọc những bài trên PhamVietHung’s Home, bạn ấy ngạc nhiên khi thấy Toán học rốt cuộc cũng chỉ là một khoa học dựa trên kinh nghiệm như các khoa học khác. Và đã là kinh nghiệm thì có thể đúng, có thể sai, chứ không phải là một chân lý tuyệt đối như bạn ấy nghĩ.

Bạn ấy còn thắc mắc tại sao nhà trường, từ phổ thông tới đại học, không hề cho bạn ấy biết những sự thật như trang mạng nói trên.
Tôi suy nghĩ mãi không biết nên trả lời thế nào. Cuối cùng, tôi quyết định kể một chuyện vui.



Theo cách đó, bạn có thể rút ra vô số những kết quả khác nhau của S, và do đó bạn sẽ đi tới kết luận: mọi số đều bằng nhau!
Đó là một nghịch lý. Nghịch lý ấy từ đâu mà ra?
Câu trả lời: Từ khái niệm vô hạn (S là một tổng vô hạn của các số hạng).
Nhưng chẳng phải toán học vẫn từng xử lý các bài toán vô hạn đó sao?
Vâng, đúng như vậy. Nhưng Toán học không tự hiểu mình.
Toán học là một bộ phận của lý trí dựa trên lý lẽ, mà lý trí thì hữu hạn. Lấy cái hữu hạn để xử lý cái vô hạn thì tránh sao khỏi sai lầm? Có thể có trường hợp đúng, nhưng cũng có nhiều trường hợp sai. Thậm chí có những trường hợp không biết đúng hay sai. Những trường hợp ấy được gọi là “bất khả quyết định” (undecidable).

Nhân loại vốn có tham vọng vô hạn nên rất thích tìm hiểu cái vô hạn. Nhưng không hiểu rằng lý trí hữu hạn không thể nắm bắt cái vô hạn được.

Blaise Pascal, ngay từ thế kỷ 17 đã băn khoăn đặt câu hỏi:
“Comment se pourrait-il qu’une partie connut le tout?” (Làm thế nào một bộ phận có thể hiểu được cái toàn thể?). Cái bộ phận là hữu hạn, cái toàn thể là vô hạn.

Đáng tiếc là nhiều người không quan tâm tới những nghĩa lý sâu xa đó, nên dễ bị shock khi gặp nghịch lý trong toán học (như bạn trẻ nói trên chẳng hạn).

Thậm chí vì không hiểu sự thật đó, nên có một xu hướng dạy Toán rất phi lý trong nhà trường hiện nay, bắt trẻ em phải tiêu hóa những khái niệm “chặt chẽ”, “trừu tượng”, “chính xác” của toán học, mà thực ra là của một thứ Toán học sai lầm.

Xu hướng này hình thành trong Toán học thế kỷ 20, gây nên sự chia rẽ lớn trong đường lối nghiên cứu và giảng dạy Toán học.

Mầm mống dẫn tới sự chia rẽ đó là lý thuyết của Cantor về cái gọi là “Transfinite Numbers” (số siêu hạn), ra đời vào cuối thế kỷ 19. Bất chấp sự công kích từ nhiều nhà toán học lớn thời đó, David Hilbert, người được tôn sùng là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của mọi thời đại, đã bênh vực Cantor. Ông tuyên bố: “Không ai có thể trục xuất chúng ta khỏi cái Thiên đường mà Cantor đã tạo dựng” (No one shall expel us from the Paradise that Cantor had created). Nghe mà kinh hãi.

Buồn thay, tiếc thay, trường phái Hilbert đã tạm thời chiến thắng, khuynh đảo đường lối Toán học thế kỷ 20. Đó là lý do vì sao ta thấy lối dạy Toán đề cao logic hình thức bây giờ vẫn được tôn sùng trong nhà trường. Nào là tập hợp, nào là ánh xạ,… Rất vớ vẩn, không cần thiết một chút nào với đại đa số người học, chưa nói đến những tai hại làm méo mó nhận thức của trẻ em. Họ cứ tưởng đó mới là thứ Toán học sang trọng, Toán học thứ thiệt. Họ không biết rằng Thế giới đã tỉnh ngộ. Những khái niệm suông ấy đã lùi vào dĩ vãng. Nếu còn được sử dụng thì cũng chỉ trong một phạm vi rất hẹp của một bộ phận trong giới Toán học mà thôi. Nhiều người đã chế giễu kiểu toán học này là trò “tự sướng” của mấy vị toán học “chùm trăn”. Toán học đó không giống chút nào với Toán học như một thứ văn hóa sinh động dành cho xã hội, dành cho tất cả mọi người.

Đại bộ phận nhân loại không cần cái toán học “tự sướng” ấy.

Ngay từ đầu thế kỷ 20, tư tưởng của Cantor thực ra đã bị chống đối mạnh mẽ từ một loạt các nhà toán học lỗi lạc đương thời như Leopold Kronecker, Henri Poincaré, rồi sau này là Hermann Weyl, L. E. J. Brouwer, và đặc biệt là nhà logic học và triết học Ludwig Wittgenstein.

Poincaré coi tư tưởng của Cantor là “bệnh tật nghiêm trọng” làm nhiễm độc nguyên tắc của toán học (“grave disease” infecting the discipline of mathematics).

Còn Kronecker, cả trên những chống đối công khai lẫn tấn công cá nhân, đều mô tả Cantor như một “gã lang băm khoa học” (a “scientific charlatan”, chữ charlatan cũng có nghĩa là một kẻ bất tài hay lòe bịp), một “kẻ phản trắc” (a renegade), và một “kẻ đồi bại của tuổi trẻ” (a corrupter of youth).

Nhiều năm sau này (khi Cantor đã mất), Wittgenstein kêu trời lên rằng toán học đã bị “đè nặng bởi những cách diễn đạt độc hại (pernicious idioms) của lý thuyết tập hợp”, một lý thuyết mà Wittgenstein xem như “hoàn toàn vô nghĩa” (utter nonsense) đến mức “đáng buồn cười” (laughable) và “sai lầm” (wrong).

Nhưng thưa độc giả. Cái thứ toán học vô nghĩa và sai lầm ấy đang chiếm ưu thế ở nhà trường đấy. Đó là lý do vì sao rất nhiều học sinh vừa chán vừa sợ môn Toán.

Khi chia sẻ điều đó với bạn bè, có người chất vấn tôi:

- Nếu đường lối Toán học của Cantor là sai lầm thì tại sao năm 1904, Hội Hoàng gia Anh lại trao tặng Cantor Huân chương Sylvester, một phần thưởng cao nhất thời đó dành cho các công trình Toán học; và tại sao một nhà toán học tài giỏi như Hilbert lại ủng hộ Cantor; và tại sao đường lối Toán học ấy lại thắng thế trong thời gian dài như thế?

Tôi trả lời:

- Khi bạn hỏi tôi câu đó, có lẽ bạn không dựa trên cái trực giác của chính bạn để phân biệt cái hay, cái dở. Hoặc bạn không có đủ trực giác nhạy bén để nhận ra cái “bệnh tật nghiêm trọng” ấy như Poincaré đã phán xét. Nếu Hilbert giỏi giang thì Poincaré là ai, có phải đó là “Mozart của toán học” không? Có phải là nhà “đại quảng bác cuối cùng” (the last Universalist) không? Vậy không nên căn cứ vào ai cả, nên dựa vào chính cái trực giác của bản thân mình mách bảo. Còn tôi, khi tôi coi Cantor và đường lối toán học của Hilbert là sai lầm, ấy là tôi nói theo suy nghĩ của chính bản thân tôi. Chính tôi không thể chấp nhận cái tư tưởng quái gở đó, và tôi càng không thể chấp nhận được cái đám đông hùa theo cái sai lầm ấy. Trước chân lý, đám đông là vô nghĩa. Nếu quả thật Hội Hoàng gia Anh tặng Huân chương cho Cantor thì điều đó trước sau cũng sẽ tổn hại tới uy tín của hội này. Vả lại, có lẽ bạn chưa biết Hilbert ngoan cố như thế nào khi Định lý Bất toàn của Kurt Godel công bố năm 1931. Hilbert trong thâm tâm muốn phủ nhận định lý này lắm, nhưng ông không có cách nào để phủ nhận nó. Ông đã rời khỏi thế giới trong nỗi buồn phiền rằng định lý này đã phủ nhận toàn bộ chương trình của ông, một chương trình vĩ đại được lịch sử đặt tên là Chương trình Hilbert. Định lý Bất toàn đã chỉ ra rằng Chương trình Hilbert là vô vọng, không tưởng, và do đó tham vọng “siêu thoát” của Cantor, Hilbert quả thật là một căn bệnh nghiêm trọng như Poincaré mô tả. Hơn thế nữa, nó vô nghĩa và độc hại như Wittgenstein đã nói.

Bài viết này là một ngẫu hứng nẩy sinh từ một thắc mắc của một bạn trẻ. Tôi viết nhanh để chia sẻ với bất kỳ ai quan tâm tới toán học và giáo dục. Rộng hơn, với bất kỳ ai quan tâm tới nhận thức và bản chất của nhận thức.

Nguồn: http://viethungpham.wordpress.com/